人工知能概論
Introduction to Artificial Intelligence
1999, Nov. 26th, updated
テキスト４章 フラクタル pp.34-48
１９９９年１１月２６日(金) 講義ノート(by 松尾研，藤野)
・中間テスト ：自筆ノートのみ持ち込み可（５０分）
・今日のノート当番：藤野（前回 國分くん満点）
フラクタルとは？（p.37, fractal：断片的な）
→見る大きさ（スケール）を変えても同じように見える（同じ構造を持つ）こと
４.１ フラクタルの発見 (by Mandelbrot)
− 海岸の長さはどうやって測るのか？
｜
｜ ○普通の物は固有の大きさ（スケール）を持つ
｜ ex. 机の大きさは数十cmのスケール
｜ 机の一部分を切り取って拡大してみると机には見えない
｜
｜ ところが
｜ ○海岸線（ex. 三陸沖のリアス式海岸）の地図は10万分の1でも1万分の1でも
｜ ギザギザしている (p.35〜36 図4.1)
｜
→ どのスケールで測ればよいか？
計測するスケールを細かくすると、海岸線の長さは長くなる
↓
計測するスケールを一定の割合で細かくすると、
海岸線の長さは一定の割合で長くなる
→p.36 図4.2
両対数グラフ上で直線になる性質
⇒直線の傾き…海岸線は何度拡大しても入り込み具合は<常に一定>
４.２ 自己相似性--フラクタル図形 (p.37)
自己相似性…図形の一部を拡大した時に同じ図形が無限に繰り返される性質
4.2.1 コッホ曲線の描き方
手順
1) 線分を３等分する
2) 真ん中を正三角形に盛り上がらせる
3) <1)2)を再帰的に繰り返す>
再帰的とは…「階乗」cf. n!→n*(n-1)! （再帰的定義）
コッホ曲線の生成法
x ----------|----------|---------- 手順 1)
...left(x) ..center(x)..right(x)
コッホ関数の考え方 （→は置換を表す）
1) x→left(x)+center(x)+right(x)
2) center(x)→l-center(x)+r-center(x)
3) 再帰的繰り返しを行う関数をf(x)とすると
f(x) → f(left(x)) + f(l-center(x)) + f(r-center(x)) + f(right(x))
"コッホ関数"と呼んでおく
コッホ関数の再帰的定義のイミ
線分を４つの断片にわけて …1)2)
それぞれの断片に再帰的な操作を行う…3)
コッホ曲線の性質…一回の操作で線分の長さは<4/3倍>になる
４.３ フラクタル次元 (p.40〜)
○次元とは？ …変更できる変数（パラメータ）の数
グラフ（空間）の軸の数
○フラクタル次元…自己相似性（<再帰的定義>）を持つ図形を定量的に扱う ための次元
→ある図形が元の図形の相似形いくつから構成されているかを表す
フラクタル次元 D=(log b)/(log a)
↑ ↑
相似形b個 全体の1/a
Q.では、コッホ曲線の D は？ a= ,b=
４.５ 自己相似性を用いて木の形を描こう！
自然界の様々な現象に自己相似性があるのなら、
逆に法則性を用いて自然界の<現象や形を再現できる>
（CGによるリアルな雲、水、山、木等の表現）
（リアルな地図の作成→the Atlas）
木の葉のシミュレーション (p.44)
x ---------|---------
trunk(x) branch(x)
幹 枝
1) x → trunk(x)+branch(x)
2) branch(x) → branch1(x)+branch2(x)
3) 木の再帰的定義 tree(x) → trunk(x) + tree(branch1(x)) + tree(branch2(x))
植物の枝分かれシミュレーション (p.49 図4.9)
p.44の木の自己相似性を決めるルールやパラメータを変えることによって様々な木の形状を表現できる
yamaguch@info.nara-k.ac.jp
人工知能概論のページへ戻る (back to AI lecture index page)
山口の担当講義のページへ戻る (back to tomo's lectures page)
Tomo's Top Page へ戻る
